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Para Distribuciones Discretas |
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Para Distribuciones Continuas |
Automatización del Modelo de Monte Carlo
De forma simplificada, se puede aplicar el Modelo de Monte Carlo en el Excel de la siguiente forma:
1. Estimar la escala de valores que podría alcanzar cada factor, y la probabilidad de ocurrencia asociada a cada valor.
2. Elegir, aleatoriamente, uno de los valores de cada factor, y dependiendo de la combinación seleccionada, computar la tasa de rendimiento resultante
3. Repetir el mismo proceso una y otra ves, la cantidad de veces que sea necesaria, que permita definir y evaluar la probabilidad de ocurrencia de cada posible tasa de rendimiento. Como existen millones de posibles combinaciones de factores, necesitamos efectuar un número de pruebas suficientemente grande para que pueda apreciarse la posibilidad de ocurrencia de las varias tasas de rendimiento. El resultado a que se llegará será una lista de distintas tasas de rendimiento que podrían lograrse, que puede variar desde una pérdida (si los factores son adversos) hasta la ganancia máxima que sea posible lograr conforme con los pronósticos que se hayan efectuado
4. Se calcula la tasa media esperada, que es el promedio ponderado de todas las tasas resultantes de las sucesivas pruebas realizadas, siendo la base de ponderación la probabilidad de ocurrencia de cada una.
5. También se determina la variabilidad de los valores respecto del promedio, lo que es importante porque a igualdad de otros factores, la empresa presumiblemente preferirá los proyectos de menor variabilidad.
Dependiendo de la política de decisión, el proceso lo podremos aplicar a la tasa interna de retorno o al valor actual neto. Los ejercicios aquí presentados trabajan en base al valor actual neto.
Ejercicios
Presentaremos dos ejercicios uno para distribuciones discretas y otro para distribuciones continuas.
Puede seguir conjuntamente la explicación para cada distribución, a través de su respectiva planilla de cálculo
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Para Distribuciones Discretas |
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Para Distribuciones Continuas |
Para distribuciones discretas:
Bastaría colocar la distribución discreta basada en la función de probabilidad acumulada (entre 0% y 100%), generar un aleatorio ( por la función =aleatorio()) y , por ejemplo, a través de una función de búsqueda y referencia (buscarv()) identificar el valor correspondiente.
Usando una función de buscar y referencia, como buscarv. del Excel, podríamos generar aleatorios y así aseguramos la aleatoriedad de las cantidades obtenidas, y que luego de "n" simulaciones ("n" no debería ser menor a 1.000) , permitiría calcular el promedio y el riesgo de la distribución.
Veamos un ejemplo para distribuciones Discretas y uno para Distribuciones Continuas
Distribución Discreta:
Si hacemos mil simulaciones encontraremos que el promedio y el riesgo tienden a estabilizarse próximos a los valores poblacionales anteriormente calculados. Recuerde que para activar la fórmula aleatorio debe presionar la tecla F9.
Para realizar una tabla de estas simulaciones se puede realizar una macro; la cual valla tomando los valores, los lleve a otra hoja ( use el pegado especial para pasar las fórmulas a valores); para esta misma macro debe usar las posiciones relativas para que se vallan incorporando los registros.
Plotenado el gráfico de los números de simulaciones con los valores del promedio y el desvío, puede percibirse que próximo a las 200 simulaciones, los valores se tienden a estabilizar.
Distribuciones Continuas:
En nuestro modelo de simulación estocástico, existen varias varialbles aleatorias intercatuando. Y estas variables, siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas distintas a la distribución uniforme. Por esta razón, para simular este tipo de variables, es necesario contar con un generador de números uniformes y una función que a través de un método específico, transforme estos núeros en valores de distribución normal.
Existen varios procedimientos para lograr este objetivo, en este trabajo se adoptó el siguiente procedimiento especial para generar números al azar que sigan la distribución de probaiblidad:
Para cada tipo de distribución continua, se puede montar una función estocástica; en nuestro caso, una distribución normal puede ser expresado por:
para expresar la distribución acumulada de la distribución normal en forma explícita, utilizamos el teorema del límite central, el cual establece que la suma de n variables aleatorias independientes se aproxima a una distribución nomral a medida que n se aproxima a infinito.
Que expresado en forma de teorema sería:
Si x1,x2,.......xn es una secuencia de n variables aleatorias independientes con E(x)=µi y var (x)= ð2i (ambas finitas) y Y= a1x1+a2x2+.....+anxn, entonces bajo ciertas condiciones generales:
Tiene una distribución normal estándar a medida que n se aproxima a infinito.
Si las variables que se están sumando son uniformes en el intervalo (0;1) entonces.
donde R es un número aleatório
Tiene una distribución normal estándar. Puesto que la normal estándar de una variable aleatoria x distribuida normalmente se obtiene como:
entonces, la simulación de la variable aleatoria x se haría de acuerdo a la siguiente expresión:
Finalmente, utilizando un valor de n=12, la confiabilidad de los valores simulados es bastante aceptable.
Y utilizando un valor de n=12, la última expresión se simplifica a:
Para hacer esta operación en el Excel, se debe usar la función =aleatorio().
=((((ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+
ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO())-6)*Desvío
+ Promedio))
A continuación se presenta un ejemplo de la utilización del método de Monte Carlo en la planilla de Microsoft Excel:
Estos son los datos del Ejercicio:
Luego se comienza a construir el Modelo:
Para cada tipo de gaseosa se calcula:
El Acumulando de las probabilidades
El promedio y el riesgo
Se aplica la función aleatrorio() y buscarv()
Se aplica la función estocástica para determinar la cantidad.
Luego y en función de estos valores se procede al cálculo del Valor Actual Neto, utilizando la función predeterminada del Excel VNA; recuerde que la inversión inicial correspondiente al momento 0, va leteando a esta función.
Una vez que se tiene la estructura para el cálculo del Valor Actual Neto, se puede realizar una macro que valla acumulando los registros de cada valor puntual que correspondan al Valor Actual Neto, a medida que se activa la función aleatoria para cada simulación. Además se puede ir calculando los valores correspondientes del promedio y del desvío, a fin de poder estudiar el comportamiento del modelo.
Se puede construir el Histograma correspondiente a los valores del Valor Actual Neto, para ello se recurre a la opción Histograma localizada en el Análisis del datos, que se encuentra en Herramientas del asistente. Utilizando la función de Análisis de datos
Con los datos de la tabla que se encuentran el promedio y el riesgo del Valor Actual Neto, se construye el gráfico del Promedio y del desvío muestral por número de simulaciones.
Al construir el Histograma se cuenta con la opción de realizar el gráfico automáticamente y además adicionar el porcentaje acumulado. El resultado se muestra en la siguiente imagen.
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