UMA VARIAÇÃO DO MODELO KMV DE CRÉDITO PARA O CALCULO DA PROBABILIDADE DE DEFAULT DE UMA EMPRESA

JOSÉ ROBERTO SECURATO
 FEA-USP
 

Uma Variação do Modelo KMV de Crédito para o Calculo da Probabilidade de Default de Uma Empresa

Resumo

Este artigo tem como principal objetivo apresentar uma fórmula para o cálculo da probabilidade de default de uma operação de crédito.

A fórmula utiliza como dados de entrada coeficientes obtidos a partir das demonstrações contábeis e da evolução dos valores do Ativo e Patrimônio Liquido da empresa, além do estado da dívida.

Ela foi elaborada a partir de uma variação do modelo de opções reais seguindo a linha do modelo KMV e ainda requer, adaptações para a efetiva aplicação.

O centro do artigo é a fórmula obtida para o cálculo da probabilidade de default e a tabela apresentada de probabilidade conforme o percentual da dívida em relação ao valor patrimonial.

Trata-se de um artigo exploratório com possibilidades de novos estudos.

1. Introdução

Um dos grandes problemas que temos em nossos dias é, com certeza, a questão do crédito. Altman e Suggit (1998:2) observam que: “a administração do risco de crédito é talvez o próximo grande desafio na administração de risco das instituições financeiras”.

Assim temos o estudo cada vez mais acentuado de modelos para análise de crédito e para a avaliação do risco de crédito oriundos das mais distintas vertentes, desde o estudo do demonstrativos contábeis até a aplicação em Redes Neurais ou Teoria do Caos para a análise de crédito.

Um dos modelos mais interessantes foi o desenvolvimento na década de 80 por Kealhofer e Vasicek, que mais tarde vão se juntar a McQuown dando origem ao modelo de uso comercial KMV, desenvolvido pela KMV Corporation.

Nesse artigo apresentamos uma variação do modelo KMV, que segue as idéias de Merton (1974), para o cálculo de probabilidade de default de uma empresa.

2. Uma Empresa Entendida como Uma Opção e o Modelo KMV

Conforme a proposta de Merton (1974) consideremos uma empresa em sua estrutura mais

simples, ao longo do tempo, da seguinte forma:

a) na data t = 0 (hoje)

- a empresa tem um patrimônio liquido indicado por PL₀, uma divida D₀ e um

total de ativos A0 .

b) na data T (T>0) temos:

- a empresa deverá pagar a dívida cujo valor será D_T;

- supõe-se que caso a dívida não seja paga os credores assumem a empresa nada pagando aos acionistas;

- e supõe-se que durante o período t = 0 a t = T, a empresa não assume novas dívidas e nem paga dividendos ao proprietários.

Com estas hipóteses traçadas podemos considerar que um pessoa poderia pagar a quantia PL0 na data t = 0 e com isso adquirir o direito de ficar com a empresa, ou não, dependendo do valor que os ativos assumirem na data t = T, de vencimento da dívida.

- Em t = 0 os ativos da empresa valem A₀ e irão variar ao longo do tempo até a data t = T.

Indicando por A_T o valor do ativo, no vencimento da dívida, teremos duas possibilidades:

- Se A_T ≥ D_T então, nesse caso, será paga a dívida D_T . Como resultado da operação obtêm-se o valor (A_T - D - PL_T), onde PL_T corresponde ao valor PL₀ , que foi gasto para entrar na operação, corrigido para a data de vencimento da dívida.

- Se A_T < D_T então se entrega a empresa aos credores perdendo-se o valor PL₀ pago no início da operação.

Do exposto temos um caso típico de uma CALL, opção de compra, onde:

- Paga-se prêmio C = PL₀

- para se ter o direito de comprar um ativo, em uma data T, por um valor de exercício X = D_T;

- Direito esse que será exercido se o preço do ativo A0, em t = 0, evoluir para um preço
 A_T ≥D_T, no vencimento em t = T.

Então pela fórmula de Black e Scholes podemos calcular o valor de PL₀ , ou seja, o prêmio da CALL – opção de compra –, como segue:

onde d_A é a volatilidade da taxa de variação do ativo, N ( . ) é a probabilidade com base na distribuição normal e as demais variáveis já foram explicadas. É interessante notar que esse modelo pode ser ampliado para o caso de distribuição de dividendos ao longo do período [0;T].

A partir da visão da empresa como uma opção de compra, o Modelo KMV procura calcular a probabilidade de default, ou seja, de não pagamento da dívida em um prazo fixado t = T. Conforme Crocchy (2000: 88-90), essa probabilidade de default PD, é calculada a partir da distância de default – DD–, calculada pela diferença entre o valor esperado do valor dos ativos – E [A] e o valor das dividas de curto prazo somada à metade das de longo prazo; como segue:

onde

DC: dívida de curto prazo

DL: dívida de longo prazo

DD: distância de default dada em número de desvios padrões

Daí obtém-se a probabilidade de default empírica, dada por:

Conforme comenta Saunders (1999:29) “a vantagem do KMV é a construção de uma base de dados mundial de firmas que lhe permite produzir estas probabilidades de default empíricas”. Claro que o problema surge quando não dispomos dessa base e, nessas condições, precisamos de outras soluções para a determinação do cálculo da probabilidade de default, como a que passamos a apresentar.

3. Uma Variação do Modelo KMV para Calculo da Probabilidade de Default

A partir da fórmula de Black-Scholes devemos lembrar que N (d₂) representa a probabilidade de ocorrência de exercício da opção; o que pode ser visto em BRIYS et al.(1998:64-68), quando trata da solução da equação diferencial que dá origem a fórmula de Black-Scholes.

Nestas condições, para o vencimento da opção em t = T, a probabilidade de default será dada por :

Substituindo N (d2) a partir da fórmula de Black-Scholes virá que:

Por outro lado, se calcularmos a derivada do prêmio da opção em relação ao preço do ativo objeto obtemos o conhecido resultado, que para nosso caso, será dado por:

 que na forma discreta nos dará:

Se considerarmos que a variação de uma variável possa ser captada como um percentual de seu valor e que possamos tomar para tal o desvio padrão das taxas de variação da variável, conforme Crosbie (1999:15), teremos:

ou mais genericamente

onde k₁ e k₂ são constantes a serem determinados.

Substituindo em nossa última equação nos dará a seguinte relação:

Tomando essa relação para t = 0 e substituindo o produto A0 x N (d1) na fórmula da

probabilidade de default, teremos:

Indicando k1/k2 pelo coeficiente k de calibração do modelo teremos:

onde

PD: probabilidade de default no vencimento T

D_T: valor da divida na data T

PL₀: valor do patrimônio liquido em t = 0

i_F: taxa livre de risco

σ _PL: volatilidade da taxa de variação do PL

σ _A: volatilidade da taxa de variação dos ativos da empresa

k: coeficiente de calibragem do modelo.

Se consideramos que ic é a taxa de crédito a vigorar para a dívida no período T, podemos considerar que D_T = D₀ x e ^icT .

Daí a fórmula será:

com algumas condições naturais para aplicação:

4. Testando o Modelo

Para termos idéia do comportamento do modelo em relação a sua aplicação prática constatamos que os resultados dependem de uma boa calibragem do modelo.

Com relação ao quociente σ_PL/σ_A calculamos a volatilidade do Ativo e do Patrimônio Liquido de uma amostra de 15 empresas a partir de dados de balanços coletados na ECONOMÁTICA, do período 1995 à 2001, encontrando uma média de 1,43 com desvio de 0,37.

A tabela seguinte apresenta as probabilidades de default para T = 1 ano, k = 1 e spread  em relação a taxa livre de risco i_c-i_F = 20% a.a., para diferentes percentuais de passivos em relação ao patrimônio liquido e diferentes quocientes de volatilidades no intervalo [1,06;1,80]; como pode ser visto.

5. Considerações Finais

Observando a tabela de probabilidades de default contatamos que aumentando o percentual do endividamento a probabilidade aumenta significativamente enquanto que aumentando o quociente σ PL/σ A a probabilidade de default diminui mostrando que quanto maior for a taxa de variação do patrimônio em relação a taxa de variação do ativo diminui o risco da empresa.

A tabela foi elaborada para k = 1 e acreditamos que o tamanho da empresa e tipo de negócio devem ter uma calibragem especial; com especial atenção para os bancos.

Desta forma o modelo apresentado requer, ainda, estudos que possam referendá-lo, ou não, para as aplicações práticas. Acreditamos que estudos com relação a calibragem possam nos levar a algum sucesso do modelo.

Bibliografia

Este artículo pude ser obtenido en el sitio:
www.ead.fea.usp.br/wpapers
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