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Una Aplicación del Método de Monte Carlo
Resumen En este trabajo se presenta, a través de un caso práctico, la utilización de la planilla electrónica en el análisis de rentabilidad de inversiones bajo riesgo. Específicamente se describe como operar el producto Microsoft Excel, para llevar adelante la construcción del método de Monte Carlo aplicado la evaluación de proyectos de inversión.
An application of the Monte Carlo Method in the Risk Analysis of Proyects: Its authomatization through an electronic spreadsheet Abstract This article presents, through a practical case, the utilization of the electronic spreadsheet in the return analysis of investments under risk. Specifically , it is described how to operate the Microsoft Excel product in order to develope the construction of the Monte Carlo method applied to the evaluation of investment proyects.
1.- Introducción El método de Monte Carlo es una herramienta de investigación y planeamiento; básicamente es una técnica de muestreo artificial, empleada para operar numéricamente sistemas complejos que tengan componentes aleatorios. Gracias a la constante evolución de las microcomputadoras, en lo que se refiere a su capacidad de procesamiento de la información, el método de Monte Carlo es cada ves más frecuentemente utilizado. Esta metodología provee como resultado, incorporada a los modelos financieros, aproximaciones para las distribuciones de probabilidades de los parámetros que están siendo estudiados. Para ello son realizadas diversas simulaciones donde, en cada una de ellas, son generados valores aleatorios para el conjunto de variables de entrada y parámetros del modelo que están sujetos a incertidumbre. Tales valores aleatorios generados siguen distribuciones de probabilidades específicas que deben ser identificadas o estimadas previamente. Vale destacar que el concepto de simulación, adoptado en este trabajo, es el descripto en los estudios de Robert E. Shannon [1975] donde la Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo, a fin de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema. El conjunto de resultados, producidos a lo largo de todas las simulaciones, podrán ser analizados estadísticamente y proveer resultados en términos de probabilidad. Esas informaciones serán útiles en la evaluación de la dispersión total de las apreciaciones del modelo, causado por el efecto combinado de las incertidumbres de los datos de entrada y en al evaluación de las probabilidades de ser violados los padrones de las proyecciones financieras. En lo que se refiere al uso de la computadora, podemos asegurar que los procedimiento a desarrollar para obtener una visión clara de la variabilidad y el rédito de los proyectos bajo análisis, requerirá de técnicas simples; como por ejemplo, y lo vamos a mostrar en este trabajo, la planilla de cálculo puede emplearse para obtener valiosa información sobre la sensibilidad del posible rendimiento frente a las variaciones de factores determinados, y sobre la probabilidad de obtener diversos niveles de rendimiento. Esta información será fundamental como respaldo de decisiones gerenciales; no pueden quedar dudas que el conocimiento de la probabilidad de ocurrencia de toda la gama de posibles rendimientos, brinda una cierta seguridad de que la información disponible ha sido empleada con la máxima eficacia. El ejercicio de razonar en base a la incertidumbre contribuye a mejorar la habilidad de elegir las inversiones, porque comprender la incertidumbre y el riesgo equivale a comprender el secreto de los negocios, y es la llave para abrir la puerta a la buenas oportunidades. 2.- Automatización del Modelo de Monte Carlo De forma simplificada, se puede aplicar el Modelo de Monte Carlo en el Excel de la siguiente forma:
Dependiendo de la política de decisión, el proceso lo podremos aplicar a la tasa interna de retorno o al valor actual neto. Los ejercicios aquí presentados trabajan en base al valor actual neto. 3.- Ejercicios Se presentan dos problemas de selección de inversiones mediante los criterios del Valor Actual Neto (VAN); ambos problemas contienen la determinación de una estimación de los flujos de caja pesimista, más probable y optimista que genera la inversión en un período de tiempo. El modelo del Valor Actual Neto (VAN) se aplica para valorar todos los rendimientos del proyectos de inversión al momento de su inicio, y obedece a la fórmula:
donde A es es desembolso inicial del proyecto; T su duración; Qt, t=1,..., T, el flujo de caja producido en el período t; y rs, s=1,...,t, la tasa de descuento aplicable en dicho período. Para distribuciones discretas Bastaría colocar la distribución discreta basada en la función de probabilidad acumulada (entre 0% y 100%), generar un número aleatorio y a través de una función de búsqueda y referencia, como la función buscar, identificar el valor correspondiente. Aplicando conjuntamente las funciones "buscar" y "aleatorio", se puede asegurar la aleatoriedad de los posibles Valores Actuales Netos (VAN) obtenidos, y que luego de "n" simulaciones ("n" no debería ser menor a 1.000) , permitiría calcular el promedio y el desvío de la distribución, que para nuestro caso de estudio financiero estaría asociado al riesgo de la inversión. Veamos un ejemplo
Si hacemos mil simulaciones encontraremos que el promedio y el riesgo tienden a estabilizarse próximos a los valores poblacionales anteriormente calculados. Recuerde que para activar la fórmula aleatorio debe presionar la tecla F9.
Ploteando el gráfico de los números de simulaciones con los valores del promedio y el desvío, puede percibirse que próximo a las 200 simulaciones, los valores se tienden a estabilizar.
Figura 1. Representación del promedio y del desvío correspondiente a la Tabla 1. Distribuciones Continuas: En nuestro modelo de simulación estocástico, existen varias variables aleatorias intercatuando. Y estas variables, siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas distintas a la distribución uniforme. Por esta razón, para simular este tipo de variables, es necesario contar con un generador de números uniformes y una función que a través de un método específico, transforme estos números en valores de distribución normal. Existen varios procedimientos para lograr este objetivo, en este trabajo se adoptó el siguiente procedimiento especial para generar números al azar que sigan la distribución de probabilidad. Para cada tipo de distribución continua, se puede montar una función
estocástica; en nuestro caso, una distribución normal puede ser expresado
por:
para expresar la distribución acumulada de la distribución normal en forma explícita, utilizamos el teorema del límite central, el cual establece que la suma de n variables aleatorias independientes se aproxima a una distribución normal a medida que n se aproxima a infinito. Que expresado en forma de teorema sería: Si x1,x2,.......xn es una secuencia de n variables aleatorias independientes con E(x)=µi y var (x)= ð2i (ambas finitas) y Y= a1x1+a2x2+.....+anxn, entonces bajo ciertas condiciones generales:
Tiene una distribución normal estándar a medida que n se aproxima a infinito. Si las variables que se están sumando son uniformes en el intervalo (0;1) entonces:
donde R es un número aleatorio. Tiene una distribución normal estándar. Puesto que la normal estándar de una variable aleatoria x distribuida normalmente se obtiene como:
entonces, la simulación de la variable aleatoria x se haría de acuerdo a la siguiente expresión:
Finalmente, utilizando un valor de n=12, la confiabilidad de los
valores simulados es bastante aceptable. Y utilizando un valor de n=12, la
última expresión se simplifica a:
Para hacer esta operación en el Excel, se debe usar la función =aleatorio().
=((((ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ALEATORIO()+ Una alternativa a este modelo es aplicar la función, de la planilla electrónica Excel, DISTR.NORM.INV, que devuelve el inverso de la distribución acumulativa normal para la media y desviación estándar especificadas. A continuación se presenta un ejemplo de la utilización del método de Monte Carlo en la planilla de Microsoft Excel. Estos son los datos del Ejercicio:
Luego se comienza a construir el Modelo. Para cada tipo de gaseosa se calcula: El Acumulando de las probabilidades. El promedio y el riesgo. Se aplican las funciones: aleatrorio y buscar Se aplica la función estocástica para determinar la cantidad.
Luego y en función de estos valores se procede al cálculo del Valor Actual Neto, utilizando la función predeterminada del Excel VNA; recuerde que la inversión inicial correspondiente al momento 0, va leteando a esta función.
Una vez que se tiene la estructura para el cálculo del Valor Actual Neto, se puede realizar una macro que valla acumulando los registros de cada valor puntual que correspondan al Valor Actual Neto, a medida que se activa la función aleatoria para cada simulación. Además se puede ir calculando los valores correspondientes del promedio y del desvío, a fin de poder estudiar el comportamiento del modelo.
La macro para realizar este proceso puede tener las siguientes instrucciones: Esta macro requiere que:
Con los datos de la tabla que se encuentran el promedio y el riesgo del Valor Actual Neto, se construye el gráfico del Promedio y del desvío muestral por número de simulaciones. También de forma muy simple se puede construir, en la misma hoja donde se realizó la simulación de Monte Carlo, un sistema una estructura de análisis que contenga el promedio, el desvío, un intervalo de confianza y realizar una distribución de frecuencia; al aplicar la función frecuencia del Excel hay que recordar que ésta es del tipo matricial por lo que requiere que primero se realice la primera función (en el ejemplo está en la celdaI2) luego se marca el rango de celdas al que se va a copiar, posicionaos en la celda I2 se edita con la tecla F2 y por último se ejecuta simultaneamente las teclas ctrl+Shift+Enter.
Por último con un gráfico del tipo XY (Dispersión), con puntos de datos conectados por líneas suavizadas, se representa la serie Frecuencia.
4.- Conclusión. Cuando se parte de un modelo simple, se cuentan con las herramientas necesarias y se posee el suficiente conocimiento como para poder utilizarlas; el administrador tiene en sus manos todos los elementos que se requieren para poder crear buenos Sistemas de Soporte de Decisiones. En este artículo también se deja demostrando, que no se precisan ni grandes recursos, ni grandes equipos de trabajo para llevar adelante un Proyecto Informático.
5.- Bibliografía BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens; DE OLIVEIRA SIQUEIRA, José. Análise Do Risco Na Avaliaçao De Projetos De Investimento: Uma Aplicaçao Do Método De Monte Carlo. Caderno de Pesquisas em Administraçao. 1998, vol. 1, núm. 6. FAULÍN, Javier, et al. "Simulación de Monte Carlo con Excel". Proyecto e-Math. HERRERÍAS PLEGUEZUELO, Rafael; FERNANDEZ, Herminia Calvete. "Una ley de
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Programación, Selección y Control de Proyectos en Ambiente de
Incertidumbre. Granada: Rafael Herrerías Pleguezuelo, 2001. Disponible
en World Wide Web: HERTZ, David B."La incertidumbre y el riesgo en la evaluación de proyectos de inversión". Harvard Business Review. 1964, enero-febrero , pág. 95. NARVÁEZ, Jorge Luis. El lado Oscuro de la Estrategia, Buenos Aires: C&C, 1996 PÉRISSÉ, Marcelo Claudio. "Sistema para el Soporte de Decisiones - Una Metodología para su Desarrollo". Aplicación Tributaria Revista Informate, Noviembre 2000. PÉRISSÉ, Marcelo Claudio. "Sistema para el Soporte de Decisiones - Una Metodología para su Desarrollo". Aplicación Tributaria Revista Informate, Noviembre 2000. RAUIL, Coss Bu. Simulación Un enfoque práctico. México : Editorial Limusa, 1995 SEILA, Andrew F. y BANKS, Jerry. Spreadsheer Risk Analysis Using Simulation. 1990. SHANNON, Robert E. la Simulación de los Sistemas: El Arte y Ciencia, los Precipicios de Englewood, N.J.: Prentice-Hall, 1975 1988 Informe Nº 1 Análisis de la rentabilidad de inversiones en la empresa argentina: Federación Argentina de Consejos Profesionales en Ciencias Económicas, Área Administración. Buenos Aires: Ediciones Macchi. 6.- Agradecimientos Ing. Ricardo Luis Marini. Investigador del Centro de Investigaciones Aplicadas (CIA), Córdoba Argentina 7.- Download archivos Microsoft Excel 97 Para distribuciones discretas - 1_montecarlo_discreta.xls Para distribuciones continuas - 2_montecarlo_continua.xls
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Técnica Administrativa,
Buenos Aires http://www.cyta.com.ar - |
Volumen: 05 |
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Recibido el:10-07-2006 ; Aprobado el:11-08-2006 |
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