Conceptos probabilísticos

Definiciones
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Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.
Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles.
Resultado: lo que resulta en particular de un experimento.
Evento: conjunto de uno o más resultados de un experimento.

Enfoques de la probabilidad
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Probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.
Utilizando el punto de vista clásico,

Ejemplo

Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.

El espacio muestral S = {HH, HT, TH, TT}

Considere el evento de una cara.

Probabilidad de una cara = 2/4 = 1/2.

Eventos mutuamente excluyentes
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Eventos mutuamente excluyentes: la ocurrencia de cualquier evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.
En el anterior, los cuatro resultados posibles son mutuamente excluyentes.

Eventos colectivamente exhaustivos
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Colectivamente exhaustivos: por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.
En el EJEMPLO, los cuatro resultados posibles son colectivamente exhaustivos.
En otras palabras,
la suma de las probabilidades es = 1 (.25 + .25 + .25 + .25).

Concepto de frecuencias relativas
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La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en qué fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado:
 
 
A lo largo de su carrera, la profesora Patricia ha otorgado 186 calificaciones de A entre sus 1200 estudiantes.
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su clase en este semestre reciba una A?
Aplicando el concepto de frecuencias relativas, la probabilidad de una A es
186 /1200 = 0.155

Probabilidad subjetiva
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Probabilidad subjetiva: la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.
Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los Salgado de Salta ganen la Lotería el próximo año y estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto en Los Angeles este año.

Reglas básicas de probabilidad
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Si los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que otro eventos ocurra.
Reglas de adición: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:
P(A o B) = P(A) + P(B)
 
Ejemplo
Aerolíneas Argentinas acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos de Buenos Aires a Rosario:
Ejemplo
Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces
P(A) = 100 /1000 = 0.1.
Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces
P(B) = 75 /1000 = 0.075.
La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es
P(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175.

Regla del complemento
Véalo aquí

La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del número 1 la probabilidad de que un evento no ocurra.
Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) es el complemento de A,
P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 - P(~A).
 
Diagrama de Venn que ilustra la regla del complemento


 

EJEMPLO
Si C es el evento de que un vuelo llegue a tiempo, entonces
P(C) = 800 /1000 = 0.8.
Si D es el evento de que un vuelo sea cancelado, entonces
P(D) = 25 /1000 = 0.025.
Utilice la regla del complemento para mostrar que la probabilidad de que el vuelo llegue antes de tiempo (A) o demorado (B) es 0.175.
P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 + .025] = .175
 

Regla general de adición
Véalo aquí

 
Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces
P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
 
Diagrama de Venn que ilustra esta regla
 
Ejemplo
En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo,
175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos:
 
Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente,
¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un estéreo, sólo una TV y uno de cada uno?
P(S) = 320 /500 = .64.
P(T) = 175 /500 = .35.
P(S y T) = 100 /500 = .20.
 
Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente,
¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su habitación?
P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T)
= .64 +.35 - .20 = .79.

Regla especial de multiplicación
Véalo aquí

 
La regla especial de multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes.
Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de una no afecta la probabililidad de ocurrencia del otro.
La regla especial se escribe: P(A y B) = P(A) * P(B).
 
Ejemplo
Chris posee dos inventarios independientes uno de otro.
La probabilidad de que el inventario A aumente su valor el próximo año es .5. La probabilidad de que el B aumente el suyo es .7.
¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo año?
P(A y B) = (.5)(.7) = .35.
 
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el próximo año (esto implica que cualquiera de los dos o ambos aumenten)?
Así, P(al menos uno) = (.5)(.3) + (.5)(.7) + (.7)(.5) = .85.


Probabilidad conjunta
Véalo aquí

 
Probabilidad conjunta es una probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran juntos.
Un ejemplo sería el hecho de que un estudiante tenga tanto un estéreo como una TV en su habitación.



Probabilidad condicional
Véalo aquí

 
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento.
Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como
P(A|B).

Regla general de multiplicación
Véalo aquí

 
La regla general de multiplicación se utiliza para determina la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos y establece:
para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de A por la probabilidad condicional de B dado que A ocurrió.
La probabilidad conjunta, P(A y B) está dada por la siguiente fórmula:
P(A y B) = P(A) * P(B|A)
o
P(A y B) = P(B) * P(A|B)
 
Ejemplo
La directora de la escuela de administración en Miami recolectó la siguiente información acerca de los estudiantes de licenciatura del colegio:
 
Si un estudiante se selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer del área de contabilidad?
P(A y F) = 110 / 1000.
Dado que la estudiante es mujer, ¿cuál es la probabilidad que esté en el área de contabilidad?
P(A|F) = [P(A y F)] / [P(F)] = [110 / 1000] /[400 / 1000] = .275.



Diagrama de árbol
Véalo aquí

 
El diagrama de árbol es muy útil para visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.
EJEMPLO: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información.




Teorema de Bayes
Véalo aquí

 
El teorema de Bayes se representa con la fórmula:



La compañía Duff Beer ha recibido varias quejas debido a que sus botellas no van bien llenas.
Una queja fue recibida hoy pero el gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas Springfield (A o B) llenó esta botella.
¿Cuál es la probabilidad de que la botella mal llenada haya salido de la planta A?
 
 
P(A |U) = [(.55)(.03)]/[(.55)(.03) + (.45)(.04)] = .4783.


Algunos principios de conteo
Véalo aquí

 
Fórmula de la multiplicación: si hay m modos de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de hacer ambas.
EJEMPLO: el Doctor Périssé tiene 10 camisas y 8 corbatas.
¿Cuántos conjuntos de camisas /corbatas tiene?
(10)(8) = 80.
 
Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un grupo único de n objetos posibles.


Nota: el orden del arreglo es importante en las permutaciones.
Combinación: el número de modos para elegir r objetos de un grupo de n objetos sin considerar el orden.
 
Ejemplo
El entrenador Alexis tiene que elegir 5 jugadores entre los doce del equipo para incluirlos en alineación.
¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar?
12C5 = (12!)/[5!(12-5)!] =792
Suponga que el entrenador Alexis debe clasificarlos en orden:
12P5 = (12!)/(12-5)! = 95,040.
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